15 / 18 · 交代证明的每一步
分情况与反证，各自证明什么
完成所有情况，并指出矛盾究竟否定了哪条假设。
先修衔接 假设可以借用，但要交还
前往练习 ↓带着这个问题读
方案在两种情况中的一种有效，是否就证明它总有效？
从 P ∨ Q 推出 R，需要在临时假设 P 下得到 R，也在临时假设 Q 下得到 R。析取消去（∨E）解除两个分支的依赖。不能只选喜欢的分支，而且情况必须覆盖前提断言的可能性。
否定引入（¬I）：假定 P，推出矛盾 ⊥，比如同时得到 Q 与 ¬Q；关闭子证明，得出 ¬P。矛盾是在其他前提之下排除了新增假设，不表示之前的每条陈述都假。
经典反证法可以假定 ¬P 并推出 ⊥，先得到 ¬¬P，再通过双重否定消去得到 P。其他逻辑体系未必允许最后一步。这里明确使用经典规则。
一起拆一个例子
- 前提：P ∨ Q、P → R、Q → R。P 分支：假定 P，得到 R。Q 分支：假定 Q，也得到 R。
- 两个覆盖的情况都得到 R，因此 ∨E 可以在两个子证明外得到 R。两种情况不必互斥。
- 对于 P → Q 与 ¬Q，假定 P，用 →E 得到 Q，与 ¬Q 矛盾。关闭子证明，用 ¬I 得到 ¬P。
轮到你了
0 / 3练习 1未检查
完成 ¬P 的推导依据。
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- 3. [内部] P → 临时假设
- 4. [内部] Q → →E，第 1、3 行
- 5. [内部] ⊥ → 矛盾，第 2、4 行
- 6. [已关闭] ¬P → ¬I，解除第 3 至 5 行假设依赖
矛盾是 Q 与 ¬Q，它关闭临时的 P 分支，在永久前提之下确立 ¬P。
练习 2未检查
已知 P ∨ Q 和 P → R，足够分情况推出 R 吗？
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不够，Q 情况仍需一条通往 R 的依据。
缺一个分支，是缺依据，不是排版问题。
练习 3未检查
为不完整的分情况推理构造反例。
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P = F · Q = T · R = F
P = F、Q = T、R = F 满足两个前提并反驳 R，这正是未覆盖的分支。
带回你自己的问题
写一份分两种情况的计划，说明这两种情况为什么覆盖可能性，以及每种情况下用什么支持目标结果。