06 / 18 · 看见命题结构
每一行都相同，才叫等价
用完整真值表检验等价，不只找几个相符的例子。
先修衔接 充分与必要：登记就一定能入场吗？
前往练习 ↓带着这个问题读
“不同时满足”与“至少一个不满足”真的是同一个条件吗？
两个公式在每一种赋值下真值都相同，就逻辑等价。双条件 P ↔ Q 在 P、Q 真值相同时为真。A ↔ B 每一行都为真，恰好表示 A 与 B 等价。
n 个独立命题字母有 2^n 种赋值。两个字母的四行全部检查完，就是在这个命题模型内穷尽了情形，不是在现实中随便测四个案例。
德摩根律给出：¬(P ∧ Q) 等价于 ¬P ∨ ¬Q；¬(P ∨ Q) 等价于 ¬P ∧ ¬Q。P → Q 等价于 ¬P ∨ Q，也等价于逆否命题 ¬Q → ¬P，但通常不等价于 Q → P。
一起拆一个例子
- 反驳 P → Q 与 Q → P 等价，只需 P = T、Q = F：前者假，后者真。
- 证明两个字母的德摩根律，则比较 T、T；T、F；F、T；F、F 四行。所有行都没有真值不一致。
- 关键是这个小真值表已经穷尽，而不是碰巧相符的例子数量多。
轮到你了
0 / 3练习 1未检查
检验“并非同时满足”的两种表达。
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- P=T, Q=T →
¬(P ∧ Q): F;¬P ∨ ¬Q: F - P=T, Q=F →
¬(P ∧ Q): T;¬P ∨ ¬Q: T - P=F, Q=T →
¬(P ∧ Q): T;¬P ∨ ¬Q: T - P=F, Q=F →
¬(P ∧ Q): T;¬P ∨ ¬Q: T
四行中的两列全部相同，因此证明了这条命题等价关系。
练习 2未检查
哪一个总是与 P → Q 等价？
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¬Q → ¬P
若充分条件成立而必要条件不成立，原规则就被违反了。
练习 3未检查
三个独立命题字母需要多少行真值表？
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穷尽枚举适合小命题公式，但规模会指数增长。
带回你自己的问题
找一条日常生活中的“不能同时”约束，用“或”重写，再检验恰好满足一个条件时是否一致。