10 / 18 · 走进对象与关系
所有、存在与有限世界
在明确、非空的论域里评价带量词的陈述。
先修衔接 当前提根本无法同时成立
前往练习 ↓带着这个问题读
“所有已复核论文都公开了。”这里指哪些论文？一定存在已复核论文吗？
谓词描述对象，比如 R(x) 表示“x 是红色”。论域规定 x 可以取哪些对象。在这里的小世界中，论域恰好是 a、b、c；R 表示红色，C 表示圆形。两个谓词都不涉及世界之外的对象。
∀x C(x) 表示论域中每个对象都是圆形；∃x C(x) 表示至少有一个是圆形。存在命题需要见证：指出一个满足谓词的对象。全称命题则只需一个反例对象就会失败。
“所有红色对象都是圆形”是 ∀x(R(x) → C(x))；“有红色对象是圆形”是 ∃x(R(x) ∧ C(x))。全称用条件句限制对象，存在则需要一个同时满足两个属性的对象。非红色对象不违反前一条全称命题。
一起拆一个例子
- a 是红色圆形，b 是灰色方形，c 是灰色圆形。每个红色对象都是圆形，但并非每个对象都是圆形。
- a 是 ∃x(R(x) ∧ C(x)) 的见证；b 是 ∀x C(x) 的反例。对象在不同判断中承担不同角色。
- 检查这个世界可以确定此处什么为真，不能证明所有可能论域都如此。
轮到你了
0 / 3练习 1未检查
造一个存在红色圆形、但并非所有对象都是圆形的世界。
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一种可行世界:
- a: 红色=T, 圆形=T
- b: 红色=F, 圆形=F
- c: 红色=F, 圆形=F
一个红色圆形提供见证，另一个非圆形反驳全称。在这里，同一个对象不能既是圆形又非圆形。
练习 2未检查
哪一个表示“有红色对象是圆形”？
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∃x(R(x) ∧ C(x))
存在合取中的两个属性必须落在同一个对象上。
练习 3未检查
一个公式在你试过的所有三对象世界里都成立，说明什么？
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它在这些已测试世界中成立；一般有效性还需额外证明。
一个有限反模型可以推翻有效性，有限的成功测试通常不能证明一阶有效性。
带回你自己的问题
从论文中找一条“所有”或“存在”式主张，明确论域，并写出什么算见证或反例。