13 / 18 · 交代证明的每一步
证明的每一步都要有依据
根据已给前提与规则，为简短自然演绎证明的每一步提供依据。
先修衔接 每人一个，还是大家同一个？
前往练习 ↓带着这个问题读
结论看起来显然正确，你能指出每一步的确切依据吗？
证明记录结论怎样通过允许的规则推出，不必像真值表那样列举所有赋值。每一行必须是前提、明确引入的假设，或由可用的此前各行按规则得到的结果。
合取消去（∧E）可从 P ∧ Q 得到 P 或 Q。合取引入（∧I）把已得到的 P、Q 合成 P ∧ Q。条件消去（→E），也就是肯定前件，从 P → Q 与 P 得到 Q。
引用行号，让另一个读者能检查依赖关系。即使规则有效，也不能把它用在只是看起来相似的形式上。这些练习要求论证已编排的证明步骤，不是把任意证明输入通用定理证明器。
一起拆一个例子
- 1. P ∧ Q（前提）。2. Q → R（前提）。
- 3. Q（∧E，由第 1 行）。4. R（→E，由第 2、3 行）。
- Q 是从合取中提取的，不是猜的。得到 R 同时用到了完整条件句与其前件。
轮到你了
0 / 3练习 1未检查
补全这份直接证明的依据。
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- 4. Q → →E，第 1、2 行
- 5. R → →E，第 3、4 行
- 6. Q ∧ R → ∧I，第 4、5 行
第 4、5 行各自把条件句作用于前件，第 6 行合并两个已确立的陈述，无需增加假设。
练习 2未检查
已知 P ∧ (Q ∨ R)，用 ∧E 可直接得到什么？
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Q ∨ R
尊重括号，规则作用于主联结词。
练习 3未检查
证明中已有 P → Q、Q，接着把 P 标为“→E”，问题是什么？
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它是在肯定后件，不是应用 →E。
第 7 课的反例 P = F、Q = T 仍能暴露此处错误。
带回你自己的问题
把一个三步数学或程序解释写成带编号的各行，标出没有明确依据的步骤。
用 AI 辅助本课时，怎样保留独立判断？
先保留自己的回答，再记录 AI 候选；逐条检查来源、计算、推理与条件，写出采用或拒绝的理由。最后换一个情境独立作答。完成核查练习后，把方法用回本课任务。
练习完整核查流程并保存记录我的学习状态
由你手动标记，不依据页面访问或自动判定掌握。中英文共用状态，练习答案仍由各课保存。此处备份仅包含状态，不包含答案或笔记。